В математике и статистике часто стоит задача рассчитать стандартное отклонение числового набора σ. Для этих целей мы как раз и предлагаем вам этот калькулятор стандартного отклонения. В пару кликов мыши он рассчитаем вам так называемое среднеквадратичное отклонение онлайн из вашего набора чисел или других значений.
С помощью кнопки «Добавить больше чисел» добавьте необходимое количество полей для ввода числовых значений. В нашем калькуляторе можно добавить до 50 значений. Затем заполните эти поля входными данными: вашими числами или выборками. После этих процедур нажмите на кнопку «Рассчитать» и вы мгновенно получите искомый результат.
Для ввода новых данных нажмите на кнопку очистки полей «Сброс».
Внимание: Калькулятор считает стандартное отклонение генеральной совокупности. Результат выводится в тех же единицах измерения что и исходные данные. То есть если вы вводили килограммы, то и получите разброс значений в килограммах, если вы вводили рубли, то и получите рубли (а не рубли в квадрате).
Что такое стандартное отклонение?
Стандартное отклонение — это числовая мера разброса значений вокруг среднего значения (среднего арифметического).
Проще говоря: оно показывает, насколько обычно значения в наборе удаляются от среднего.
Малое стандартное отклонение — данные тесно сгруппированы; большое — сильно разбросаны.
Чаще всего эта величина обозначается как σ (сигма) для всей популяции или s — для выборки.
Что такое среднеквадратичное отклонение?
Термин «среднеквадратичное отклонение» — это синоним стандартного отклонения.
Буквально он подчёркивает способ вычисления: берутся отклонения от среднего, возводятся в квадрат, усредняются, а затем берётся квадратный корень. То есть «среднеквадратичное» = root mean square (RMS) отклонений.
Что такое среднеквадратическое отклонение?
«Среднеквадратическое отклонение» — ещё одна языковая вариация того же понятия. В математике и статистике эти три выражения (среднеквадратичное, среднеквадратическое, среднее квадратичное) обычно используются взаимозаменяемо и означают стандартное отклонение, если явно не оговорено иное.
Что такое среднее квадратичное отклонение?
«Среднее квадратичное отклонение» — ещё один вариант названия стандартного отклонения. Все эти названия отражают одну и ту же операцию: квадраты отклонений → среднее → корень. Различие только в терминологии, не в сути расчёта.
Что такое относительное стандартное отклонение?
Есть еще такое понятие как относительное стандартное отклонение (relative standard deviation) или RDS.
Относительное стандартное отклонение (RSD) — это стандартизированная мера дисперсии, которая выражает стандартное отклонение от среднего арифметического значения.
Данная величина выражается в процентах (%) и позволяет проводить наглядное сравнение изменчивости между наборами некоторых числовых данных.
Формула RSD выглядит следующим образом:
RSD = (s / x̄) * 100 , где
s — стандартное отклонение в данных,
x̄ — среднее арифметическое этих данных.
Качество полученных данных можно оценить опираясь именно за величину RSD. В таблице ниже приводим оценку согласно общепринятыми отраслевым стандартам.
| Значение RSD | Оценка качества | Расшифровка |
|---|---|---|
| ≤ 1% | Отличное | Высокоточные данные с минимальным разбросом |
| 1% — 5% | Хорошее | Хорошая точность, достаточная для большинства решений |
| 5% — 10% | Среднее | Умеренная вариация, при которой может потребоваться проверка |
| 10% — 20% | Высокая вариация | Высокая изменчивость, стоит обратить внимание на качество данных |
| > 20% | Очень высокая | Очень высокая изменчивость, данные очень не надёжны |
Чем отличается генеральное стандартное отклонение и выборочное стандартное отклонение?
Разница в том, как делят сумму квадратов отклонений:
Генеральное (популяционное) стандартное отклонение σ вычисляют, деля сумму квадратов отклонений на N (полный размер совокупности):
σ = √( (1/N) Σ(xi − μ)2 ).
Такая формула используется, когда у вас есть все данные популяции или вы рассматриваете модель полностью.
Чтобы вы могли самостоятельно рассчитать стандартное отклонение (σ) числового набора некоторых элементов, приведём формулы в читабельном виде с пояснениями.
Формула генерального стандартного отклонения более наглядно выглядит так:
σ — стандартное отклонение генеральной совокупности,
xᵢ — величина отдельного значения генеральной совокупности,
μ — среднее арифметическое генеральной совокупности,
n — размер генеральной совокупности.
Эта формула используется когда:
- наши данные подразумевают каждого члена совокупности
- например при анализе данные о переписи населения
- мы имеем полные данные для определенной группы исследования
Выборочное стандартное отклонение s используют при работе с выборкой, чтобы получить несмещённую оценку дисперсии популяции. Тут делят на (n−1) — корректировка Бесселя:
s = √( (1/(n−1)) Σ(xi − x̄)2 ).
Это важное отличие при оценках параметров по выборке.
Формула выборочного стандартного отклонения имеет следующий вид:
s — стандартное отклонение выборки,
xᵢ — величина отдельного значения выборки,
x̄ — среднее арифметическое выборки,
n — размер выборки.
Эта формула применяется когда:
- данные являются частью более крупной выборки
- при проведении экспериментального исследования
- если выполняется контроль качества производственных образцов
- при оценке изменчивости совокупности на основе ограниченных данных
Где и для чего применяются расчет стандартного отклонения?
Стандартное отклонение широко применяется:
- Финансы: измерение волатильности цен и рисков.
- Контроль качества: оценка стабильности процессов.
- Наука и медицина: оценка разброса измерений и надёжности результатов.
- Социология и опросы: понимание вариативности ответов.
- Машинное обучение: нормализация признаков, анализ ошибок.
В общем, когда нужно понять, насколько данные «разбросаны» вокруг среднего значения — используют стандартное отклонение.
Примеры с расчетами стандартного отклонения
Пример 1 (популяция):
Данные: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Шаги:
- Среднее μ = (2+4+4+4+5+5+7+9)/8 = 40/8 = 5
- Отклонения: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
- Квадраты: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 → сумма = 32
- Дисперсия (популяционная) = 32/8 = 4
- Стандартное отклонение σ = √(4) = 2
Пример 2 (выборка):
Возьмём ту же выборку, но считаем выборочное отклонение (оценка для популяции):
- Сумма квадратов = 32 (как выше)
- Дисперсия (выборочная) = 32/(n−1) = 32/7 ≈ 4.5714
- s = sqrt(4.5714) ≈ 2.138
Пример 3 (малый набор):
Данные: 2, 4, 6
- Среднее = 4
- Квадраты отклонений: 4, 0, 4 → сумма = 8
- Популяционная дисперсия = 8/3 ≈ 2.667 → σ ≈ 1.633
- Выборочная дисперсия = 8/(3−1) = 4 = √4 → s = 2
Краткие выводы по теме
Стандартное отклонение — простой и мощный способ понять каким будет разброс данных в определенном наборе данных.
Термины «среднеквадратичное», «среднеквадратическое», «среднее квадратичное отклонение» обычно означают одно и то же.
Главное помнить про различие между расчетом для всей популяции (деление на N) и для выборки (деление на n−1).
Изучив этот материал и потренировавшись с этими примерами вы теперь точно будете знать как рассчитать стандартное отклонение числового набора самостоятельно. Однако, чтобы не запутаться в этих не простых расчетах и быстро найти среднее квадратичное отклонение используйте наш онлайн калькулятор. Он простой, бесплатный и весьма функциональный.
Напоминаем что наш калькулятор считает стандартное отклонение только лишь для генеральной совокупности. Для расчетов выборочной совокупности необходимо использовать другой инструмент.
Если вы знаете более простой способ вычислений напишите об этом в комментариях, мы обсудим.