Треугольник Паскаля онлайн

Здесь мы вам расскажем и покажем что такое треугольник Паскаля. Как быстро построить данный треугольник онлайн с помощью нашего калькулятора. Приведем основные формулы для расчета и конечно же будет немного теории.

Построение треугольника паскаля

Чтобы построить треугольник паскаля онлайн, необходимо ввести в наш калькулятор требуемое количество строк (n). Учитывайте что отсчёт ведётся от нулевой строки. Нумерация чисел в строке также начинается с нуля и с левого края.

После ввода «n» нажмите на кнопку «рассчитать» и треугольник из чисел тут же будет построен. Не вводите в данном калькуляторе число строк больше 50. Он их просто не будет считать, так как числа там получаются огромные. Чтобы построенный треугольник нормально отображался в окне помещается всего 15 строк, в при большем их количестве цифры уже будут смещаться.

Примечание: в интернете есть много калькуляторов на эту тему, однако в некоторых из них треугольник строится не совсем правильно. Там есть путаница с какой строки идет отсчет с нулевой или с первой. У нас такой проблемы нет)).

Что такое треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — это бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на его вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число в таком треугольнике равно сумме двух чисел расположенных над ним.

Данный треугольник был назван в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя он известен был еще задолго до него. Строки в треугольнике симметричны относительно вертикальной оси. Еще этот треугольник часто называют «арифметический треугольник».

Вот как выглядит треугольник Паскаля, а точнее его первые 10 строк:

Основная формула треугольника Паскаля

Первая формула связанная с треугольником Паскаля, применяется в комбинаторике и выглядит так:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) , где

C(n, k) — биномиальный коэффициент,
n — число строк или номер строки,
k — положение в строке или порядковый номер элемента в строке.

или

Есть также и другая формула для расчета каждого числа в этом треугольнике. И она имеет имеет следующий вид:

C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)

или

Свойства треугольника Паскаля

У такого треугольника есть несколько очень интересных свойств:

• Если провести вертикальную линию по центру треугольника, то она разделит левую и правую часть на симметричные стороны.
• Сумма всех чисел в n-й строке равна 2ⁿ. Например в пятой строке: 1+5+10+10+5+1=32=2⁵. А у нулевой строке 2⁰=1 (вершина треугольника).
• На диагоналях треугольника находятся последовательности чисел. На 2-й диагонали — натуральные числа, на 3-й находятся треугольные, а на 4-й — тетраэдральные.
• Сумма чисел в n-ой строке больше суммы чисел в предыдущей строке в два раза.

Особенности треугольника

У треугольник Паскаля имеется ряд следующих отличительных особенностей:

• в вершине и на боковых сторонах располагаются только единицы;
• строки треугольника симметричны относительно его вертикальной оси;
• диагональ, идущая сразу после единичной боковой стороны, содержит только натуральные числа;
• число каждой ячейки треугольника Паскаля равно количеству способов попасть в эту ячейку из вершины;
• если треугольник выравнять по левому краю, то сумма чисел, расположенных на диагоналях, равна числу Фибоначчи (эти диагонали направляют слева направо и снизу вверх).

В этой статье мы разобрали основные характеристики этого математического треугольника и то как можно построить треугольник паскаля онлайн или вручную.

Применение треугольника Паскаля

Свойства треугольника Паскаля часто используются в таких сферах как алгебра, теория вероятностей и комбинаторика. Данный треугольник изучают в школе в 9 и 10 классе.

Рассмотрим практическое применение свойств треугольника Паскаля в примере задачи по комбинаторике.

Задача: В магазин доставили разных 6 компьютеров и их необходимо расставить по 4 штуки в один ряд. Сколькими способами вообще можно это сделать?

Решение: Если воспользоваться формулой, то получим
C(6, 4) = 6! / (4! * (6-4)!) = (1*2*3*4*5*6) / (1*2*3*4*1*2) = 15.

Кроме этого можно воспользоваться графическим способом решения данной задачи. В нашем арифметическом треугольнике находим элемент, который находится на пересечении 6-ой строки и 4-ой диагонали. Данное число и будет являться ответом. Проверить это можно на рисунке ниже:

Ответ: 15 способов (вариантов) расположения.

Как видите треугольник Паскаля онлайн весьма интересный математический объект с помощью которого можно решать различные задачи. Сохраните данный материал себе, возможно эта информация вам когда нибудь даже пригодится.